Einfügen neuer Dokumente

Zunächst wird eine neue Matrix B durch Aneinanderhängen von $A_k$ und N gewonnen, wobei N die $m\times p$ Matrix aus den Dokumentvektoren der p neuen Dokumente ist:

$$B = (A_k\vert N)$$

Im Unterschied zum Updating durch vollständige Neuberechnung verwenden wir also die alte Term-Dokument-Matrix A überhaupt nicht mehr, sondern gleich die bereits modizifierte $A_k$ - das Ergebnis weicht daher ein wenig vom Ergebnis der vollständigen Neuberechnung ab. Gesucht ist nun eine Zerlegung

$$B = T_BS_BD_B^T$$

mit $D_B$ und $T_B$ orthonormal. Hierzu berechnen wir durch Linksmultiplikation mit dem alten $T_k^T$ und Rechtsmultiplikation mit dem alten $D_k$ (aufgefüllt mit der Einheitsmatrix) eine Hilfmatrix F

$$F = T_k^T B \begin{pmatrix} D_k & 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix}$$

mit

$$I_p = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ \end{pmatrix}\;$$Einheitsmatrix der Dimension $$p\times p$$

Dann ist für F eine Singular-Value-Zerlegung

$$F = T_F S_F D_F^T$$ (1)

mit vereinfachten Algorithmen zu finden, denn F hat die Form

$$F = T_k^T B \begin{pmatrix} D_k & 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix} = T_...... 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix} = (I_m S_k I_n \vert T_k^TN) = (S_k \vert T_k^TN),$$

denn wegen Orthogonalität von $T_k$ und $D_k$ ist

$$T_k^TT_k=I_m\; \;D_kD_k^T=I_n$$ (2)

Also ist der linke obere Teil von F eine Diagonal-Matrix, was den SVD-Algorithmus erleichtert.

Aus der Zerlegung von F läßt sich nun aber sehr einfach die Zerlegung von B gewinnen, denn

$$T_k^TB\begin{pmatrix} D_k & 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix} & = F$$

$$T_kT_k^TB\begin{pmatrix} D_k & 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix} & = T_kF$$

und wegen (2)

$$B\begin{pmatrix} D_k & 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix}& = T_kF$$

ebenso

$$B& = T_kF\begin{pmatrix} D_k^T & 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix}$$

also mit der Zerlegung (1)

$$B& = \underbrace{T_kT_F}_{\text{orthogonal}} \overbrace{S_F}^{\te... ...e{D_F^T\begin{pmatrix} D_k^T & 0 \\ 0 & I_p \end{pmatrix}}_{\text{orthogonal}}$$

Also legen wir fest

$$T_B=T_kT_F,\;D_B=D_F^T\begin{pmatrix} D_k^T & 0\\ 0 & I_p \end{pmatrix},\; S_B=S_F$$

und haben die gewünschte Zerlegung. Die Vereinfachung besteht also darin, daß wir von Anfang nicht A, sondern $A_k$ benutzen und so einfachere Algorithmen zur Zerlegung anwenden können (die hier aber nicht erklärt werden).