Vergleich von Termen und Dokumenten (Äußerer Vergleich)

Beim Vergleich von Termen und Dokumenten können wir nicht das Skalarprodukt zwischen Reihen bzw. Spalten der Matrix berechnen. Vielmehr müssen wir in diesem Fall Reihen und Spalten hinzuziehen, damit sowohl die Terme als auch die Dokumente in die Berechnung eingehen.

Wenn wir uns die Formel zur Berechnung von vergegenwärtigen, dann wird es klar, dass der grundlegende Vergleichswert zwischen dem $i$-ten Term und dem $j$-ten Dokument durch den Wert von der $i,j$-Zelle der Matrix $A_k$ gegeben ist.

$$A_k = T_kS_kD_k^T$$

Aus der obigen Formel geht hervor, dass der Wert von der $i,j$-Zelle der Matrix mittels des Skalarprodukts zwischen der $i$-ten Reihe der Matrix $T_k(S_k)^{\frac{1}{2}}$ und der $j$-ten Reihe der Matrix $D_k(S_k)^{\frac{1}{2}}$ berechnet werden kann.

Während die internen Vergleiche (d. h. Term-Term- bzw. Dokument-Dokument-Vergleich) die Anwendung von Reihen aus $T_kS_k$ bzw. $D_kS_k$ benötigen, brauchen wir für den äußeren Vergleich $T_k(S_k)^{\frac{1}{2}}$ und $D_k(S_k)^{\frac{1}{2}}$. D. h. aber, dass es nicht möglich ist beide Vergleichstypen in einer einzigen graphischen Darstellung zu repräsentieren. Der Unterschied zwischen beiden Darstellungen wird aber nicht groß sein: Die Achsen werden bloß gestreckt oder geschrumpft sein, und zwar um den Faktor $(S_k)^{\frac{1}{2}}$.