Vergleich von zwei Termen (Interner Vergleich)

Das Skalarprodukt zwischen zwei Reihen-Vektoren von $A_k$ gibt an, zu welchem Grad sich die Vorkommenmuster von zwei Termen in der Dokumentensammlung ähneln.

Die Multiplikation von einer Matrix $M$ mit ihrer Transponierten $M^T$ ergibt eine quadratische symmetrische Matrix, die in drei Matrizen zerlegt werden kann: Matrix $EV$ mit den Eigenvektoren, Diagonalmatrix $EW$ mit den Eigenwerten und die Transponierte von der Matrix $EV$. Deswegen kann man schreiben:

$$A_kA_k^T = T_k(S_k)^2T_k^T$$

Da $(T_kS_k)^T = S_kT_k^T$ bedeutet dies, dass die Zelle $i,j$ der Matrix $A_kA_k^T$ mittels des Skalarprodukts zwischen den $i$-ten und $j$-ten Reihen der Matrix $T_kS_k$ berechnet werden kann. Wenn man also die Reihen von der Matrix $T_kS_k$ als die Koordinaten für die Termen betrachtet, dann kann man auch das Skalarprodukt zwischen zwei Termvektoren als Vergleichsmaß zwischen diesen beiden Vektoren (= Termen) anwenden.

Da die Matrix $S_k$ diagonal ist, besteht der einzige Unterschied zwischen dem Heranziehen von $T_k$ bzw. $T_kS_k$ als Koordinatenmatrix in der Streckung oder Schrumpfung der Achsen um den jeweiligen Wert der Diagonalelemente von $S_k$.