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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% die folgenden zwei Pakete werden für die Syntaxbäume benötigt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% \usepackage{graphicx}%\usepackage{epsf}
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% ------------------------------------------------------------------
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\title{Boole`sche und Peirce`sche Grammatik \\ \large
  Hauptseminar "`Relationale Grammatik"' \\ \large CIS, WS 2009/10}
\author{Marion Tang}
\institute{Universit{\"a}t M{\"u}nchen 
\\ Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung}\\
  \\
\date{9. November 2009}\\

\begin{document} 
\maketitle

%\input{../Semantik-I-04/semantik.mcr}
\def\setof#1#2{{\{#1\mid #2\}}}
\def\nat{{\mathbb N}}
\def\bool{{\mathbb B}}

\def\phi{{\varphi}}
\def\CA{{\cal A}}
\def\CB{{\cal B}}
\def\CD{{\cal D}}
\def\CP{{\cal P}}
\def\CR{{\cal R}}
\def\CO{{\cal O}}
\def\CN{{\cal N}}
\def\CF{{\cal F}}
\def\CG{{\cal G}}
\def\relpr{{\,;\,}}

\def\blue#1{\text{\color{blue}{#1}}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  Folie 2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Boole`sche und Peirce`sche Grammatik}
\pagenumbering{arabic}
\begin{itemize}
\item Definitionen und Beispiele \\

\item Notation von Regeln\\

\item Syntaxb"aume mit Auswertung\\

\item Satz von Suppes: NPs in BG und PG\\

\item Eigenschaften relationaler Sprachen\\

\item Semantische "Aquivalenz von Ausdr"ucken\\

\end{itemize}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  Folie 3   -> passt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Boole`sche Grammatik}

Eine \textbf{Boole`sche Grammatik BG} ($G$, $F$, $\upsilon$)  besteht aus:

\begin{itemize}
\item[(i)] einer kontextfreier Grammatik $G$ = ($\Sigma$, $N$, $P$, $S$)

\item[(ii)] einer \textit{Denotationsfunktion} $F$, \\
die jeder Regel $A$ $\rightarrow$ $A_1$,...,$A_k$ $\in$ $P$ eine \textit{n}-stellige
Boole`sche Funktion $F_A$ $_\rightarrow$ $_A__1$...$_A__k$ zuordnet.\\

\item[(iii)] einer partiellen \textit{Belegung} $\upsilon$ : $\Sigma$ $\rightarrow$ $B$($D$) der Terminale durch Elemente von $B$($D$), der vollen Boole`schen Algebra über der Menge $D$.\\
\end{itemize}
\right] \end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 4    -> passt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Peirce`sche Grammatik}

Eine \textbf{Peirce`sche Grammatik PG} ($G$, $F$, $\upsilon$) besteht aus:
\begin{itemize}
\item[(i)] einer kontextfreier Grammatik $G$ = ($\Sigma$, $N$, $P$, $S$)\\

\item[(ii)] einer \textit{Denotationsfunktion} $F$, \\
die jeder Regel $A$ $\rightarrow$ $A_1$,...,$A_k$ $\in$ $P$ eine \textit{n}-stellige
Peirce`sche Funktion $F_A$ $_\rightarrow$ $_A__1$...$_A__k$ zuordnet.\\

\item[(iii)] einer partiellen \textit{Belegung} $\upsilon$ : $\Sigma$ $\rightarrow$ $P$($D$) der Terminale durch Elemente von $P$($D$), der vollen Peirce`schen Algebra über der Menge $D$.\\
\end{itemize}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 5  --> Formatierung passt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{Boole`sche Grammatik\\
Beispiel 1}

\begin{tabbing}
		$NP$ \quad\= \rightarrow\quad\= $NP$ + $CC$ + $NP$ \quad\=\kill
		$NP$ \> \rightarrow \> $CA$ + $NP$ \> (1)\\
		$NP$ \> \rightarrow \> $NP$ + $CC$ + $NP$ \> (2)\\
		$NP$ \> \rightarrow \> $N$ \> (3)\\
		$CC$ \> \rightarrow \> und \> (4)\\
  		$N$ \> \rightarrow \> M"anner $\mid$ Frauen \> (5)\\
		$CA$ \> \rightarrow \> Europ"aisch \> (6)	\\
		     \\
		$\upsilon$(M"anner) = $M$\\
	  	$\upsilon$(Frauen) = $F$\\
		$\upsilon$(Europ"aisch) = $E$\\
		
\end{tabbing}\\
$CA$ := klassifikatorisches Adjektiv bzw. absolutes Adjektiv\\
$CC$ := konjunktivische Koordination bzw. konjungierende Konjunktion\\
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Boole`sche Grammatik\\
Beispiel 1}

\textbf{Syntaxbaum}\\
\begin{center}

\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{NP}}{
  
  	\pstree{\TR{CA}}{	
  		\TR{Europ"aische}
  		}
  	\pstree{\TR{NP}}{ 	
    
    	\pstree{\TR[name=subnode1]{NP}}{ 	
    		\pstree{\TR{N}}{		
      			\TR{M"anner}	
      			}
    		}
    	
    	\pstree{\TR[name=subnode2]{CC}}{ 	
      		\TR{und}		
    		}
    	
    	\pstree{\TR{NP}}{	
     		\pstree{\TR{N}}{	
      			\TR{Frauen}	
      			}
    		}
  		}
  	}
}
\end{center}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 7
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Boole`sche Grammatik\\
Beispiel 1}

\textbf{Syntaxbaum mit semantischer Auswertung}\\
\begin{center}

\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{NP: (E $\cap$ (M $\cup$ F))}}{
  
  	\pstree{\TR{CA: E}}{ 
  		\TR{Europ"aische}
  		}
  	\pstree{\TR{NP: M $\cup$ F}}{
    
    	\pstree{\TR[name=subnode1]{NP: M}}{ 	
    		\pstree{\TR{N: M}}{		
      			\TR{M"anner}		
      			}
    		}
    	
    	\pstree{\TR[name=subnode2]{CC}}{ 	
      		\TR{und}	
    		}
    	
    	\pstree{\TR{NP: F}}{	
     		\pstree{\TR{N: F}}{	
      			\TR{Frauen}		
      			}
    		}
  		}
  	}
}
\end{center}\\
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Peirce'sche Grammatik\\
Beispiel 2}

\begin{tabbing}
		$VP$ \quad\= \rightarrow \quad\= $TV$ + $NQ$ + $NP$ \quad\=\kill
		$VP$ \> \rightarrow \> $TV$ + $NQ$ + $NP$ \> (1)\\
		$NP$ \> \rightarrow \> $CA$ + $NP$ \> (2)\\
		$NP$ \> \rightarrow \> $N$ \> (3)\\
		$TV$ \> \rightarrow \> kennt \> (4)\\
		$N$ \> \rightarrow \> Bücher \> (5)\\
		$NQ$ \> \rightarrow \> keine \> (6)\\
		$CA$ \> \rightarrow \> neuen \> (7)\\
		  \\
		$\upsilon$(B"ucher) = $B$\\
		$\upsilon$(kennt) = $K$\\
		$\upsilon$(neuen) = $N$\\

\end{tabbing}\\

$TV$ := transitives Verb\\
$NQ$ := negativer Quantor\\
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 9
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Peirce'sche Grammatik\\
 Beispiel 2}

\textbf{Syntaxbaum}\\
\begin{center}

\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{VP}}{
  
  	\pstree{\TR{TV}}{	
  		\TR{kennt}
  		}
  	\pstree{\TR{NQ}}{ 	
    	\TR{keine}
    	}
    \pstree{\TR{NP}}{ 	
    	\pstree{\TR{CA}}{	
     		\TR{neuen}	
    		}
    	\pstree{\TR{NP}}{	
     		\pstree{\TR{N}}{	
     			\TR{B"ucher}	
				}
    		}
  		}
  	}
}
\end{center}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Peirce'sche Grammatik\\
Beispiel 2}

\textbf{Syntaxbaum mit semantischer Auswertung} 
\begin{center}

\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{VP: -(K :(N $\cap$ B))}}{
  
  	\pstree{\TR{TV: K}}{	 
  		\TR{kennt}
  		}
  	\pstree{\TR{NQ}}{ 
    	\TR{keine}
    	}
    \pstree{\TR{NP: N $\cap$ B}}{ 
    	\pstree{\TR{CA: N}}{	
     		\TR{neuen}	
    		}
    	\pstree{\TR{NP: B}}{	
     		\pstree{\TR{N: B}}{	
     			\TR{B"ucher}	
				}
    		}
  		}
  	}
}
\end{center}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 11
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Peirce Grammatik\\
Beispiel 3}

\begin{itemize}
\item \textbf{Maria liest ein Buch.}\\
\end{itemize}

\begin{tabbing}
		$VP$ \quad\= \rightarrow \quad\= $TV$ + $EQ$ + $NP$ \quad\= [$S$] = $E$([$PN$] $\cap$ [$VP$]) \quad\=\kill
		\blue{Produktionsregeln} \>		\>		\> \blue{semantische Funktion} \>	\\
		$S$ \> \rightarrow \> $PN$ + $VP$ \> [$S$] = $E$([$PN$] $\cap$ [$VP$]) \> (R 1)\\
		$VP$ \> \rightarrow \> $TV$ + $EQ$ + $NP$ \> [$VP$] = [$TV$] : [$NP$] \> (R 20)\\
		$NP$ \> \rightarrow \> $N$ \> [$NP$] = [$N$] \> (R 6)\\
	
		$TV$ \> \rightarrow \> liest \>		\> \\
		$EQ$ \> \rightarrow \> ein \>		\> \\
		$N$ \> \rightarrow \> Buch \>		\> \\
		$PN$ \> \rightarrow \> Maria \>		\> \\
		    \\
		$\upsilon$(Maria) = $\lbrace m \rbrace$ \\
		$\upsilon$(liest) = $L$ := (Relation für Lesen)\\
		$\upsilon$(Buch) = $B$ := (Menge der B"ucher)\\
\end{tabbing}\\
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 12
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Peirce Grammatik\\
Beispiel 3}

\textbf{Syntaxbaum mit semantischer Funktion}\\
\begin{center}

\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{S: E([PN]$\cap$[VP])}}{
  
  	\pstree{\TR{PN: [PN]}}{	
  		\TR{Maria}
  		}
  	\pstree{\TR{VP: [TV]:[NP]}}{ 	
    	\pstree{\TR{TV: [TV]}}{ 	
    		\TR{liest}
    		}
    	\pstree{\TR{EQ}}{
     		\TR{ein}	
    		}
    	\pstree{\TR{NP: [N]}}{
    		\pstree{\TR{N: [N]}}{
    			\TR{Buch}
    			}
    		}
  		}
  	}
}
\end{center}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 13
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Peirce Grammatik\\
Beispiel 3}

\textbf{Syntaxbaum mit semantischer Auswertung}\\
\begin{center}

\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{S: E($\lbrace m \rbrace \cap$(L:B))}}{
  
  	\pstree{\TR{PN: $\lbrace m \rbrace$}}{	
  		\TR{Maria}
  		}
  	\pstree{\TR{VP: (L:B)}}{ 	
    	\pstree{\TR{TV: L}}{ 	
    		\TR{liest}
    		}
    	\pstree{\TR{EQ}}{	
     		\TR{ein}	
    		}
    	\pstree{\TR{NP: B}}{
    		\pstree{\TR{N: B}}{
    			\TR{Buch}
    			}
    		}
  		}
  	}
}
\end{center}\\

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 14
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Peirce Grammatik\\
Beispiel 4}

\begin{itemize}
\item \textbf{Jeder Student belegt eine Vorlesung}.\\
\end{itemize}

\begin{tabbing}
		$VP$ \quad\= \rightarrow \quad\= $TV$ + $EQ$ + $NP$ \quad\= [$S$] = $U$(-[$NP$] $\cup$ [$VP$]) \quad\=\kill
		\blue{Produktionsregeln} \>		\>		\> \blue{semantische Funktion} \>	\\
		$S$ \> \rightarrow \> $UQ$ + $NP$ + $VP$ \> [$S$] = $U$(-[$NP$] $\cup$ [$VP$]) \> (R 13)\\
		$VP$ \> \rightarrow \> $TV$ + $EQ$ + $NP$ \> [$VP$] = [$TV$] : [$NP$]) \> (R 20)\\
		$NP$ \> \rightarrow \> $N$ \> [$NP$] = [$N$] \> (R 6)\\

		$TV$ \> \rightarrow \> belegt \>		\> \\
		$EQ$ \> \rightarrow \> eine \>		\> \\
		$N$ \> \rightarrow \> Vorlesung $\mid$ Student \>\> \\
		$UQ$ \> \rightarrow \> jeder \>		\> \\
		   \\
		$\upsilon$(Student) = $S$ := (Menge der Studenten)\\
		$\upsilon$(Vorlesung) = $V$ := (Menge der Vorlesungen)\\
		$\upsilon$(belegt) = $B$ := (Relation für belegen)\\
\end{tabbing}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 15
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Peirce Grammatik\\
Beispiel 4}
\textbf{Syntaxbaum mit semantischer Auswertung}\\
           
\begin{center}

\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{S: U(-S $\cup$ (B:V))}}{
  
  	\pstree{\TR{UQ}}{	
 		\TR{Jeder}
  		}
  	\pstree{\TR{NP: S}}{ 	
    	\pstree{\TR{N: S}}{ 	
    		\TR{Student}
    		}
    	}
    \pstree{\TR{VP: (B:V)}}{	
    	\pstree{\TR{TV: B}}{
     		\TR{belegt}	
    		}
    	\pstree{\TR{EQ}}{
    		\TR{eine}
    		}
  		\pstree{\TR{NP: V}}{ 	
    		\pstree{\TR{N: V}}{ 
    			\TR{Vorlesung}
    			}
    		}    	
  		}
  	}
}
\end{center}\\

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 16
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Boole`sche und Peirce`sche Grammatiken\\
NPs}\\
\begin{itemize}
\item \textbf{keine Kategorie Det} unter der Indefinitpronomina, Artikel und Zahlwörter zusammengefasst werden.\\
Det ist eine zu starke Verallgemeinerung, die noch auf Frege und Russel zurückgehen. In relationalen Grammatiken wird der kontextuelle Charakter des bestimmten Artikels und die Prozeduralität des Zahlbegriffs hervorgehoben.\\[4mm]

\item \textbf{keine Nominalphrase NP $\rightarrow$ Det + N} , die durch Determinierer und Nomen gebildet wird.\\
	Dies ist auf die Beschr"ankung der Hierarchie der Bedeutungen zur"uckzuf"uhren. 
	Dass es zwischen systaktischer und semantischer Struktur einen modelltheoretischer Zusammenhang gibt, wurde erstmals von Suppes bewiesen.\\
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 17
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Boole'sche und Peirce`sche Grammatik\\
NPs}\\

\begin{itemize}
\item  $Q$ + $N$ + $VP$\\
 wird traditionell in Subjekt und Prädikat zerlegt,\\
 aber: bildet der Quantor Q zusammen mit dem Nomen eine Einheit?\\
	\\

\item Semantisches Gegenargument von Frege:\\
\begin{tabbing}
		\quad\= Nicht alle S"augetiere sind Landbewohner \quad\= (1) \quad\= \kill
			\> \textit{Alle S"augetiere sind Landbewohner}	\> (1)\\
			\> \textit{Nicht alle S"augetiere sind Landbewohner} \> (2)\\
		
\end{tabbing}

Die Negation des Satzes (1) ist (2).\\
W"are aber das Pronomen \textit{alle} Teil der Subjekts-NP, so m"usste der folgende Satz (3) die Negation von (1)  sein.\\
\begin{tabbing}
		\quad\= Nicht alle S"augetiere sind Landbewohner \quad\= (1) \quad\= \kill
			\> \textit{Alle S"augetiere sind nicht Landbewohner} \> (3)\\
		
\end{tabbing}
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 18
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Satz von Suppes}\\

Es gibt keine Boolesche Grammatik, in der es eine NP gibt mit

\begin{tabbing}
		$NP$ \quad\= \rightarrow \quad\= $NP$ + $VP$ \quad\=\kill
	
		$S$ \> \rightarrow \> $NP$ + $VP$ \\
		$NP$ \> \rightarrow \> $UQ$ + $N$ \\
		$NP$ \> \rightarrow \> $EQ$ + $N$ \\
		$NP$ \> \rightarrow \> $NQ$ + $N$ \\
\end{tabbing}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 19
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Satz von Suppes}\\
Eine Grammatik heißt \textit{semantisch korrekt}, wenn sie eine \textit{Denotationsfunktion} $F$ hat, die jeder Syntaxregel eine Boole`sche (bzw. Peirce`sche) Funktion zuordnet.\\[8mm]

\textbf{Satz}(Suppes(1976)
Nicht jede kontextfreie Grammatik ist korrekt für die Boole`sche Semantik.\\[8mm]

Beweis:\\
Gegenbeispiel mit der zweielementigen Boole'schen Algebra $\lbrace$0,1$\rbrace$.\\
Wir nehmen an, es gebe Boole'sche Terme $\varphi$($X$,$Y$),$f$($X$),$g$($X$), die Bedeutungen bei Bewertungen 
$\upsilon$ : $\Sigma$ $\rightarrow$ $\CB$ in Boole'schen Algebren $\CB$ berechnen.\\

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 20
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{}
Wegen UQ werden folgende Werte erwartet: (s.u.)\\

		$\varphi$($f$(0),0) = $U$(-0 + 0) = 1 \\
		$\varphi$($f$(0),1) = $U$(-0 + 1) = 1 \\
		$\varphi$($f$(1),0) = $U$(-1 + 0) = 0 \\
		$\varphi$($f$(1),1) = $U$(-1 + 1) = 1 \\[5mm]

Wegen EQ werden folgende Werte erwartet: (s.u.)\\
		$\varphi$($g$(0),0) = $E$(0 * 0) = 0 \\
		$\varphi$($g$(0),1) = $E$(0 * 1) = 0 \\
		$\varphi$($g$(1),0) = $E$(1 * 0) = 0 \\
		$\varphi$($g$(1),1) = $E$(1 * 1) = 1 \\[5mm]
		
Wegen $\varphi$($f$(0),0) $\neq$ $\varphi$($f$(1),0) ist $f$(0) $\neq$ $f$(1).\\
Wegen $\varphi$($f$(0),0) $\neq$ $\varphi$($g$(0),0) ist $f$(0) $\neq$ $g$(0).\\
Wegen $\varphi$($f$(1),1) $\neq$ $\varphi$($g$(0),1) ist $f$(1) $\neq$ $g$(0).\\[3mm]

$f$(0), $f$(1), $g$(0) sind paarweise verschieden. Da dies in $\bool$ = $\lbrace 0,1 \rbrace$ aber unm"oglich
ist, gibt es keine solchen Funktionen $\varphi,f,g$.	$\square$
\end{frame}

% Nachtragen: S -> UQ + N + VP   \varphi(f(N),VP) = 1 \iff N \subseteq VP
% daher in BA: $\varphi(f(X),Y) = 1 \iff (-X+Y=1)$ 
% analog      S -> EQ + N + VP   \varphi(g(N),VP) = 1 \iff N \cap VP \not= \emptyset
% daher in BA: $\varphi(g(X),Y) = 1 \iff (X*Y>0)$ 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 21
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Relationale Sprachen}\\

\begin{itemize}
\item \textbf{Gleichungssprache}\\
Sprache sehr einfacher Bauart, bei der jeder Ausdruck aus einer Gleichung $T$ = $T'$ zwischen zwei Termen besteht.
Diese zeichnet sich durch einen besonders einfachen, aber vollst"andigen Ableitungsbegriff aus, der auf der Ersetzbarkeit von Termen unter der Gleichheitsrelation beruht.\\[6mm]

\item \textbf{Variablenfreiheit}\\
Sprache l"asst sich ohne Indiviuenvariablen aufbauen, d.h. sie passt besser zur Struktur nat"urlicher Sprachen als Pr"adikatenlogik. Mit Variablen wird indirekt ein Bereich von Objekten pr"aziser als erforderlich festgelegt, d.h. es wird eine durch die nat"urliche Sprache nicht motivierte Pr"azisierung der Bedeutung erzwungen.\\

\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 22
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Relationale Sprachen}\\

\begin{itemize}

\item \textbf{Semantizit"at}\\
In relationalen Sprachen ist die Semantik eine Relationenalgebra bzw. eine Erweiterung davon.
Gegeben sind eine nicht-leere Menge und eine Interpretationsfunktion (Denotation).\\
Interpretation ist auf Kategoremata eingeschr"ankt, d.h. W"orter wie \textit{alle}, \textit{ist} und \textit{sind} werden nicht interpretiert. Bedeutungen eines Ausdrucks ergibt sich unmittelbar aus seiner Konstituentenstruktur. Jeder wohlgeformte Ausdruck hat einen semantischen Baum.\\[4mm]

\item \textbf{Kontextfreiheit}\\
garantiert die sprachtheoretisch erw"unschten Eigenschaften der Entscheidbarkeit und der Existenz schneller Analyseverfahren.\\

\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 23
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Relationale Sprachen}\\

\begin{itemize}

\item \textbf{Stufenfreiheit}\\
In relationalen Sprachen gibt es keine semantischen Stufen. Alle Bedeutungen liegen auf derselben Stufe: sie sind entweder Mengen oder Relationen. Begriffe werden in absolute und relative Begriffe eingeteilt. Zudem wird verhindert, dass zu viele Denotationen erzeugt werden.\\[6mm]
B"ottner erw"ahnt folgendes Beispiel zu Abbildungen von Adjektiven bei Montague:\\
$CN$/$CN$ = $<<e,t>,<e,t>>$\\
In einem Individuenbereich mit $n$ Objekten gibt es max. $2^n$ verschiedene Eigenschaften.
D.h. für den Typ $CN$/$CN$ gibt es $(2^2)hoch(2^2)$ = $4^4$ = 256 Adjektivbedeutungen. Man erh"alt also viel mehr Bedeutungen, von denen sich die meisten nicht voneinander unterscheiden.

\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 24
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Relationale Sprachen}\\

\begin{itemize}

\item \textbf{Operationen}\\
Die Zusammensetzung der Bedeutungen erfolgt durch Operationen, man kann sozusagen mit den Termen der Sprache rechnen. Der Vorteil der operationalen Struktur liegt darin, dass der Vorgang der Bedeutungsverarbeitung abgebildet wird.\\
Relationale Sprachen haben im Gegensatz zu kategorialen Sprachen wenige Kategorien, dafür aber viele Verkn"upfungsoperatoren.\\[6mm]


\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 25
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Relationale Sprachen}\\

\begin{itemize}

\item \textbf{Semantische Determination}\\
Die Ausdrucksstruktur wird durch die Bedeutungsstruktur mitbestimmt. Dies bedeutet, dass die Bedeutung eines Wortes unabh"angig von der syntaktischen Kategorie dieses Wortes ist.\\[4mm]
Vorteil: Das Problem ob eine Kategorie VP als Argument einer Kategorie N aufzufassen ist oder umgekehrt, stellt sich bei relationalen Sprachen nicht.\\
Dadurch sind die B"aume relationaler Sprachen im allgemeinen flacher als B"aume im Rahmen der grammatischen Tradition.\\

\end{itemize}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 26
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Semantische "Aquivalenz von Ausdr"ucken}\\

\begin{itemize}

\item \textbf{Kalk"ulisierung nat"urlicher Sprachen}\\
Semantische "Aquivalenz zweier Ausdr"ucke kann auf rechnerischem Wege festgestellt werden, ebenso wie die logische Folgerung eines Ausdrucks aus einem anderen.\\

\item \textit{Beispiel} \\
Passiv- und Aktivform eines Satzes sind nicht logisch "aquivalent: $\varphi \nvDash \psi$ f"ur\\
\begin{quote}
$\varphi$ := \textit{Eine Frau wird von keinem Mann geliebt}\\
$\psi$ := \textit{Kein Mann liebt eine Frau}\\

\end{quote}

\end{itemize}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 27
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Semantische "Aquivalenz von Ausdr"ucken}\\
\begin{itemize}
\item $\varphi$:= Eine Frau wird von keinem Mann geliebt.
\end{itemize}
\begin{center}
\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{S: E(F $\cap$ -(L$^{\smallsmile}$:M))}}{\textbf{}
  
  	\pstree{\TR{EQ}}{
  		\TR{Eine}
  		}
  	\pstree{\TR{NP: F}}{
    	\pstree{\TR{N: F}}{ 	
    		\TR{Frau}
    		}
    	}
    \pstree{\TR{VP: -(L$^{\smallsmile}$:M)}}{		
    	\pstree{\TR{Cop}}{	
     		\TR{wird}
    		}    
    	\pstree{\TR{PassP: -(L$^{\smallsmile}$:M)}}{
  			\pstree{\TR{P}}{ 
  				\TR{von}
  				}
    		\pstree{\TR{NQ}}{	
    			\TR{keinem}
    			}
    		\pstree{\TR{N: M}}{ 
    			\TR{Mann}
    			}
    		\pstree{\TR{TV$_{part}$: L}}{ 
    			\TR{geliebt}
    			}  	
  			}
  		}
  	}
\end{center}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Folie 28
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Semantische "Aquivalenz von Ausdr"ucken}\\
\begin{itemize}
\item $\psi$ := Kein Mann liebt eine Frau.
\end{itemize}
\begin{center}
\pstree[levelsep=1cm,treefit=loose,nodesep=2pt]{\TR{S: N(M $\cap$ (L:F))}}{
  
  	\pstree{\TR{NQ}}{	
  		\TR{Kein}
  		}
  	\pstree{\TR{NP: M}}{
    	\pstree{\TR{N: M}}{ 	
    		\TR{Mann}
    		}
    	}
    \pstree{\TR{VP: (L:F)}}{		
    	\pstree{\TR{TV: L}}{	
     		\TR{liebt}
    		}    
    	\pstree{\TR{EQ}}{	
     		\TR{eine}
    		}
    	\pstree{\TR{NP: F}}{
  			\pstree{\TR{N: F}}{ 
  				\TR{Frau}
  				}
  			}
  		}
  	}
\end{center}
\end{frame}

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%% Folie 29
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\begin{frame}[fragile]{Semantische "Aquivalenz von Ausdr"ucken}\\

Nun zeigen wir durch eine Belegung $\upsilon$ : $T \rightarrow \CP$, dass $\varphi \nvDash \psi$ mit
$[t_\varphi]_{\upsilon}^{\CP}$ = 1$^{\CP}$ und $[t_\psi]_{\upsilon}^{\CP}$ = 0$^{\CP}$.\\
W"ahle $\CP$ = $\CP(V)$ und $\upsilon$ mit\\

\begin{tabbing}
		$\upsilon$(M"anner) = $M$ \quad\= := \quad\= {$\langle$Max, Sabine$\rangle$} \quad\=\kill
		$\upsilon$(M"anner) = $M$ \> := \> $\lbrace$Max$\rbrace$\\
		$\upsilon$(Frauen) = $F$ \> := \> $\lbrace$Eva, Sabine$\rbrace$\\
		$\upsilon$(liebt) = $L$ \> := \> $\lbrace \langle$Max, Sabine$\rangle \rbrace$\\
\end{tabbing}
Dann ist\\
$[t_\varphi]_{\upsilon}^{\CP}$ = $E(F \cap -(L^{\smallsmile}:M))$ = $E$({Eva}) = $V$ = $1^\CP$,\\
$[t_\psi]_{\upsilon}^{\CP}$ = $N(M \cap (L:F))$ = $N$({Max}) = $\emptyset$ = $0^\CP$.
\end{frame}


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%% Folie 30
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\begin{frame}[fragile]{Zusammenfassung}\\

\begin{itemize}

\item Boole`sche bzw. Peirce`sche Grammatik besteht aus:
\begin{itemize}
\item kontextfreien Grammatik $G$ = ($\Sigma$, $N$, $P$, $S$)\\
\item Denotationsfunktion $F$\\
\item partiellen Belegung $\upsilon$ : $\Sigma$ $\rightarrow$ $B$($D$) bzw. $P$($D$)\\
\item wobei je nachdem ob BG oder PG entweder die volle Boole`sche bzw. Peirce`sche Algebra und nur Boole`sche bzw. Peirce`sche Funktionen und die Testfunktionen U,N,E verwendet werden.\\
\end{itemize}
\item Produktionsregeln der Grammatik werden zusammen mit der semantischen Funktion aufgef"uhrt.\\
\item Syntaxb"aume enthalten neben den syntaktischen Kategorien auch die Angabe der semantischen Auswertung.
\end{itemize}
\end{frame}

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%% Folie 31
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[fragile]{Zusammenfassung}\\

\begin{itemize}

\item Relationale Sprachen sind kontextfrei.\\
\item Relationale Sprachen sind Gleichungssrachen.\\
\item Jeder Ausdruck einer relationalen Sprache hat einen semantischen Baum.\\
\item Die Semantik relationaler Sprachen ist variablenfrei.\\
\item In einer relationalen Sprache wird die Ausdrucksstruktur durch die Bedeutungsstruktur mitbestimmt.\\
\item In einer relationalen Sprache gibt es keine semantische Stufen.\\
\item Die Zusammensetzung von Bedeutungen geschieht durch Operationen.\\

\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}
